Taller de Fractales

Objetivos

  1. Percibir que la matemática forma parte del trabajo cotidiano comprendiendo la naturaleza del pensamiento matemático, manejando y pudiendo comunicar las ideas y los procedimientos básicos de esta ciencia.
  2. Valorar un espacio de investigación y el trabajo cooperativo en grupo para lograr objetivos en común.
  3. Tener curiosidad , apertura y duda como base del conocimiento científico. Valorar la matemática como construcción humana.

Taller de Árboles Fractales

El taller se propone de dos modalidades y para dos grupos de alumnos diferentes:

  • Para primer ciclo (2º a 4º básico)
  • Para segundo ciclo (5º a 8º básico)

Organización

Taller para Primer Ciclo

Objetivos

  1. Presentar/enseñar al niño la matemática fractal, a través de la experimentación y el juego.
  2. Que logre identificar en su vida cotidiana figuras-matemáticas-formas en la naturaleza.
  3. Demotrar a través de los fractales y fibonacci que la matemática se encuentra en la naturaleza que lo rodea.

Realización del Taller

  • Introducción: qué son los fractales, dónde los encontramos.
  • Ejemplos en la naturaleza: material audiovisual.
  • Entrega de kits de árboles para cada alumno.
  • Definición de objetivos
  • Tiempo de creación: para armado de árboles fractales, muestra de formas que pueden aparecer y ayuda con las piezas
  • Reflexión: comparación de los distintos árboles, al ser hartos alumnos existen variadas combinaciones de piezas
  • Recordatorio de palabras claves, matemática fractal, y preguntas sobre contenido aprendido

Cantidad participantes
12 mínimo 32 máximo.

Herramientas Físicas
Material audiovisual, monitor, computadores.

Herramientas Audiovisuales
Explicación de fractales en la naturaleza, verbal y audiovisual.

Cronograma

  • 10 minutos: Introducción a los fractales, qué son, dónde los encontramos, ejemplos en la naturaleza a través de imágenes.
  • 50 minutos: Taller árbol fractal 2D: trabajo individual. Construcción de árbol fractal libre para cada alumno
    • 10 minutos: Explicación Actividad.Se mostrarán ejemplos y entregarán kits personales
    • 30 minutos: Armado, alumn@ trabaja por su cuenta, supervisado por monitores.
    • 10 minutos: Conclusiones y comparaciones. [Se compararán los distintos árboles: existen infinitas combinaciones y formas.]

Taller para Segundo Ciclo

*Objetivos*

  1. Presentar/enseñar al niño la matemática fractal, a través de la experimentación y el juego; tanto individual como en grupo.
  2. Que logre identificar en su vida cotidiana figuras-matemáticas-formas en la naturaleza.
  3. Demotrar a través de los fractales y fibonacci que la matemática se encuentra en la naturaleza que lo rodea.
  4. Que entienda que existen secuencias y patrones que se repiten en la naturaleza y que pueden ser identificados; como la serie Fibonacci.

Realización del Taller

  • Introducción: qué son los fractales, dónde los encontramos.
  • Ejemplos en la naturaleza: material audiovisual.
  • Entrega de kits de árboles para cada alumno.
  • Definición de objetivos
  • Tiempo de creación: para armado de árboles fractales, muestra de formas que pueden aparecer y ayuda con las piezas; de forma individual
  • Introducción a la secuencia de Fibonacci
  • Desafío Fibonacci. Trabajo grupal (2- alumn@s), por lo tanto serán el doble de piezas.
  • Reflexión: comparación de los árboles logrados por los equipos, las combinaciones y formas son infinitas.
  • Recordatorio: palabras claves, matematica de fibonacci. Preguntas sobre contenido aprendido

Cantidad participantes
12 mínimo 32 máximo.

Herramientas Físicas
Material audiovisual, monitor, computadores.

Herramientas Audiovisuales
Explicación de fractales en la naturaleza, verbal y audiovisual.

Cronograma

  • 10 minutos: Introducción a los fractales, qué son, dónde los encontramos, ejemplos en la naturaleza a través de imágenes
  • 15 minutos: Taller árbol fractal 2D: trabajo individual. Construcción de árbol fractal libre para cada alumno
    • 5 minutos: Explicación Actividad. Se mostrarán ejemplos y entregarán kits personales
    • 15 minutos: Armado
    • 5 minutos: Conclusiones y comparaciones. [Se compararán los distintos árboles: existen infinitas combinaciones y formas]
  • 30 minutos. Taller árbol fractal 3D: desafío grupal. Construcción de árbol fractal con secuencia Fibonacci
    • 5 minutos: Explicación Actividad. Se mostrarán ejemplos y entregarán kits grupales
    • 15 minutos: Armado
    • 5 minutos: Conclusiones y comparaciones. [Se compararán los resultados entre los diferentes grupos: los árboles nunca serán iguales, existen infinitas combinaciones de armado]

Material Didáctico

Se piensa el material didáctico como "kits" entregables para cada alumno, no así piezas sueltas que podrían generar conflictos. Finalmente se fabrican dos materiales didacticos: kit cartón craft y kit MDF.

Prototipos

  • Primera acercamiento a la forma

Se fabrica en cartón piedra y a mano. Se definen dos tipos de pieza: uniones y ramas. Las uniones se proponen en dos ángulos distintos, las ramas en cuatro tamaños.

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  • Prueba de pieza 3d

Se realiza una prueba con palos de brocheta y uniones 3d. Éstas dan la posibilidad de construir en 3d (se pueden rotar las uniones y el árbol crecerá en profundidad). El problema es el tiempo de fabricación.

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  • Primera prueba de corte láser para arboles Fractales

Se realiza una versión con piezas más delgadas y definidas en cartón piedra y con corte láser. El problema es que el cartón piedra, al quemarse con el corte láser, genera una capa negra que mancha las manos y el mismo material.

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  • Segunda prueba de corte láser para arboles Fractales

Se realiza la misma prueba anterior, pero en otro material: MDF. EL modelo queda mucho más limpio y atractivo. Se debe corregir las uniones que quedan muy apretadas.

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Versión Cartón Craft

Se fabrica una versión en cartón, con piezas anchas y fáciles de ensamblar, ideales para alumn@s de primer ciclo. Son de rápida fabricación y bajo costo. Los resultados pueden resultar muy variados. La pieza de unión da la posibilidad de armar con más o menos ramas y en distinto modo.

  • Archivo Final
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  • Piezas Definidas KIT: uniones y ramas:
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  • Proceso de Armado KIT MDF:
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  • Ejemplos Piezas Conectadas:
kitcraft1.jpg kitcraft2.jpg

Versión MDF

El segundo material didáctico es fabricado en MDF, sus piezas son más delgadas y un poco más duras de ensamblar. Sus piezas de "unión" dan la posibilidad de construir un árbol en tres dimensiones, es decir no sólo crece hacia arriba y hacia los lados, sino que también en profundidad (dependiendo de cómo se ensamblen sus piezas).

  • Archivo Final
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  • Piezas Definidas KIT: uniones y ramas:
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  • Proceso de Armado KIT MDF:
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  • Ejemplos Piezas Conectadas:
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Otros Apoyos Visuales

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Validación Taller

  • Resultados primera prueba del prototipo de cartón craft con alumn@s de la Ead
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  • Resultados primera prueba del prototipo de MDF con alumn@s de la Ead
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Taller en Salidas

Primera salida, 24 de Abril

Escuela rural Teniente Julio Allendes", Placilla de Peñuelas
Primera salida realizada por el taller de titulación, consta de dos bloques.

Primer Bloque

En el primer bloque se trabaja con alumnos y alumnas del primer ciclo: 3º y 4º básico. Se realiza el "Taller de Fractales en los árboles", el cual tiene una duración de una hora. La finalidad del taller es enseñar sobre la matemática de fractales y que luego los participantes puedan distinguir estas formas y patrones en la naturaleza, en su vida cotidiana.

  • Ejecución: Se llega al Colegio, se distribuyen las mesas en dos grandes grupos (dos mesas por grupo), se reúnen los alumnos al rededor de ellas. Se realiza una introducción general para ambos simultáneamente, mientras que en cada mesa se muestran imágenes (en computadores), luego se distribuyeron los kit del taller F1, dos monitores en cada mesa van observando y ayudando a que sigan las indicaciones y logren entender la finalidad del taller, se responden preguntas y aclararon ideas con respecto al armado del kit.
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  • Resultados: fueron muy fructíferos. Se lograron muchas combinaciones y formas diversas. El prototipo da la libertad al alumn@ para que arme las formas que se le ocurran, permite que sean creativos al momento de armar y pensar las combinaciones.
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  • Conclusiones: Se logró que el alumno entendiera parcialmente lo que es el fractal y que existe una matemática presente en la naturaleza y por lo tanto, en su vida cotidiana. Se lleva el kit del taller de regalo, con la finalidad de poder crear, jugar y probar con otras formas.
  • Observaciones:
  1. Crear actividad rompe hielo [juego previo] antes del taller.
  2. Pensar en algún sobre para que se lleven piezas del kit.
  3. Para el kit de MDF, que sea mas fácil el sacado de piezas.
  4. Elemento para explicar como se utilizan las piezas del kit (instructivo?).
  5. Identificadores que los identifiquen y hagan sentir dentro de un grupo (podría estar en el kit).

Segundo Bloque

En el segundo bloque se trabaja con alumnos y alumnas del segundo ciclo, específicamente 5º y 6º básico. Se realiza el "Taller de Fractales en los árboles", el cual tiene una duración de una hora. La finalidad del taller es enseñar sobre la matemática de fractales, la secuencia de Fibonacci y cómo estas aparecen en la naturaleza, específicamente en el crecimiento de los árboles. Los alumnos deberán trabajar individualmente y luego en equipo para construir su propio "árbol fractal".

  • Ejecución: Se hace el cambio de alumnos un solo grupo en dos mesas al rededor de ellas. Se realiza una introducción general, mientras que en cada mesa se muestran imágenes (en computadores), luego se distribuyen los kit del taller F2. Dos monitores en cada mesa van observando y ayudando a que sigan las indicaciones y logren entender la finalidad del taller, se van respondiendo preguntas y aclarando ideas con respecto al armado del kit, luego de esto se unen en parejas y distribuyen piezas y trabajan con la serie Fibonacci y una forma 3D del objeto final. Finalmente se comparan los resultados.
  • Trabajo Individual
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  • Trabajo Grupal
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  • Resultados: fueron muy fructíferos. Se lograron muchas combinaciones y formas diversas. El prototipo da la libertad al alumn@ para que arme las formas que se le ocurran, permite que sean creativos al momento de armar y pensar las combinaciones.
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  • Recopilación del Taller

  • Conclusiones: Se logró que el alumno entendiera parcialmente lo que es el fractal, que es parte de la naturaleza y se puede distinguir en su vida cotidiana. También logra entender la serie Fibonacci, que se manifiesta de igual forma que el fractal, además de llevarse el kit como regalo del taller, con las que podrá generar otras formas y figuras.
  • Observaciones:
  1. Pensar en sobre para que se lleven piezas del kit.
  2. Para el kit de mdf, que sea mas fácil el sacado de piezas.
  3. Elemento para explicar como se utilizan las piezas del kit (instructivo?).
  4. Identificadores que los identifiquen y hagan sentir dentro de un grupo (podría estar en el kit).

Estudio

¿Qué son los Fractales?

Los fractales son entidades matemáticas que están por todas partes. Y, precisamente, por su variedad, son difíciles de definir porque no todos cumplen las mismas características, aunque hay algo en común: son el producto de la repetición de un proceso geométrico elemental que da lugar a una estructura final de una complicación extraordinaria. Un fractal es un objeto semi geométrico cuya estructura básica se repite a diferentes escalas. Pueden ser generados por un proceso recursivo o iterativo, son irregulares y de detalle infinito.Sus partes tienen la misma forma o estructura que el todo, aunque a distinta escala o con ligera deformación. El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado.

Características

  • Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.
  • Posee detalle a cualquier escala de observación.
  • Es auto-similar (exacta o estadísticamente): sus partes tienen la misma forma o estructura que el todo, aunque a distinta escala o con ligera deformación. 2- dimensión: de Hausdorff-Besicovitch, topológica, fractal o euclidiana. 3- iteración: repetir n veces la misma figura. En este caso fórmulas, ecuaciones o patrón.
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¿Existen fractales en la Naturaleza?

Podemos encontrar espontáneamente en la vida cotidiana: hay muchos objetos naturales que, debido a su estructura o comportamiento, son considerados fractales naturales aunque no lo parezcan: nubes, montañas, costas, ríos, caracoles, flores, brócoli. En lo que se diferencian de los fractales matemáticos es que éstos son entidades infinitas. Los fractales suministran modelos que contribuyen a percibir el espacio y las propiedades geométricas de objetos y procesos naturales.

Para la realización de este taller, nosotr@s nos enfocamos en los fractales que aparecen en los árboles: sus ramas se dividen por fractales, desde el tronco hasta la copa se mantiene esta característica.

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Secuencia de Fibonacci

En matemáticas, la sucesión o serie de Fibonacci hace referencia a la secuencia ordenada de números Empezamos sumando 0 y 1, y para cada suma siguiente usamos el segundo sumando y el resultado de la suma anterior (los mostraremos subrayados). Pero mejor veamos, en la práctica se entiende mejor:

0 + 1 = 1

1 + 1 = 2

1 + 2 = 3

2 + 3 = 5

3 + 5 = 8

5 + 8 = 13

8 + 13 = 21

13 + 21 = 34… y así sucesivamente.

Cuando representamos estos números en forma geométrica, tenemos como resultado un espiral que aparece en varias formas naturales vivas, o ramificaciones que aprovechan mejor el espacio y facilitan al máximo todos los procesos orgánicos en que estas estructuras están involucradas.

Esta serie se hizo especialmente famosa por describir las proporciones naturales, supuestamente, de todas las cosas en el universo. Lo cierto es que hoy en día la aparición de esta serie ocurre de forma muy amplia y extensa en campos como las matemáticas, ciencias de la computación, biología o teoría de juegos.

El Fractal de Fibonacci

También conocido como el Racimo de Grossman por su “autor”, George W. Grossman, quien dio una descripción del mismo en Fractal Construction by Orthogonal Projection using the Fibonacci Sequence (pdf) en 1997.

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Partimos de un triángulo rectángulo isósceles. Trazamos la altura desde el ángulo recto, dividiendo así el triángulo inicial en dos triángulos rectángulos iguales. En uno de ellos hacemos lo mismo, dividirlo en dos más pequeños, y borrar uno de ellos. De entre los triángulos que han quedado sin borrar elegimos el de mayor área y lo coloreamos de verde. Repetimos el proceso con este triángulo verde. Trazamos la altura desde el ángulo recto y en una de las dos mitades volvemos a trazar la altura desde el ángulo recto y borramos una de las dos partes creadas.

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